雀舌黄杨会掉叶子:一道数学归纳法证明题
来源:百度文库 编辑:神马品牌网 时间:2024/08/29 02:05:19
求证 5个连续自然数的积能被120整除
要求用数学归纳法!!!!!!!!
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1)1*2*3*4*5=120
2)设n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)=120k
则(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)(n+5)=120k/n*(n+5),定能被120整除
------典型的数学归纳法
改证在连续n个自然数的积能被n!整除
证:设n个自然数为a,a+1,a+2~~a+n-1
易证一个自然数能被1整除
假定n=k时结论正确即
(k!)|(a)*(a+1)*~~~*(a+k-1)
那么当n=k+1时,
积为(a)*(a+1)*~~~*(a+k-1)*(a+k)
(k+1)!中(k)!|(a)*(a+1)*~~~*(a+k-1)而k+1在连续k+1个自然数中必有其倍数
所以(k+1)!|(a)*(a+1)*~~~*(a+k-1)*(a+k)
所以在连续n个自然数的积能被n!整除
所以5个连续自然数的积能被120整除
5个连续自然数中,必有2的倍数,3的倍数,4的倍数,5的倍数。
所以它们的积必为2*3*4*5=120的倍数。
设:第1个自然数为X
.....2......则为X+1
.....3......则..X+2
.....4......则..X+3
.....5......则..X+4
X(X+1)(X+2)(X+3)(X+4)=120
解得................X=1
把120分解质因数,得2,2,2,3,5
2*2=4,
因此这5个数是2,3,4,5外加一个1
即1,2,3,4,5
120=1*2*3*4*5